En la consola nos situamos en la cualquier carpeta y ejecutamos las siguientes ordenes:

$ curl -sS https://getcomposer.org/installer | php

Y se nos descargará el composer y:

$ sudo mv composer.phar /usr/local/bin/composer

Para moverlo a nuestra carpeta de ejecutables bin

Puede que nos salte este error:

mv: rename composer.phar to /usr/local/bin/composer: No such file or directory

¿Y esto por qué puede ser?
Porque no tenemos creado el directirio bin
Para crearlo nos movemos a /usr/local

$ cd /usr/local

Y creamos el directorio bin

$ sudo mkdir bin

Una vez hecho esto, repetiríamos el comando para moverlo
(sudo mv composer.phar /usr/local/bin/composer)

Para comprobar la instalación, o si ya lo teníamos instalado:

$ composer --version

Para actualizarlo:

$ composer self-update